Qual è il volume di una piramide?

Una piramide è una struttura le cui superfici esterne sono triangolari e convergono in un singolo punto nella parte superiore, rendendo la forma approssimativamente una piramide in senso geometrico. La base di una piramide può essere trilaterale, quadrilatera o di qualsiasi forma poligonale. La piramide quadrata, con una base quadrata e quattro superfici esterne triangolari, è una versione comune. ( rif : wikipedia )

Il volume di una piramide quadrata è dato da =

dove b è la lunghezza del lato del quadrato e h è l’altezza della piramide.

Come è nata questa formula?

Se osservi la formula, è 1/3 del volume di un cuboide se l’altezza è uguale alla lunghezza della base. Questo sembra abbastanza strano dato che non ci sono modi ovvi per equiparare un terzo di un cubo a una piramide quadrata. Come mai è 1/3 allora? Usiamo il calcolo per derivare questa formula.

Possiamo ottenere volume integrando tutti i pezzi di quadrati che formano la piramide.

Se noti, l’area dei quadrati diventa sempre più piccola dalla base mentre saliamo in altezza. Dobbiamo sapere quanto cambia l’area del quadrato con il cambiamento di altezza.

se guardi una sezione trasversale della piramide, è come un triangolo. possiamo considerare solo metà della piramide e guardare metà del triangolo rettangolo.

la pendenza del triangolo è data da b / (2 h)

La lunghezza del sotto-quadrato diminuisce mentre ci spostiamo verso l’alto dalla base. Possiamo usare il triangolo, dal centro verso il bordo, per modellare la lunghezza dei quadrati.

Mentre x si sposta da 0 a h, possiamo calcolare la lunghezza dal centro al bordo tramite questa espressione.

Tuttavia, questa è solo la metà della lunghezza, abbiamo usato solo un triangolo. Quindi dobbiamo moltiplicarlo per 2 per ottenere l’intera lunghezza e quindi quadrarlo in modo da ottenere l’area.

In fase di espansione, questo arriva a questo.

Se consideriamo tutti questi quadrati dalla base all’altezza h, otteniamo il volume della piramide.

L’anti-derivato del integrale di cui sopra,

Il volume è dato da,

Questo semplifica:

Quindi dobbiamo trovare F ‘(0) che è solo 0

Infine, sottraendo le due espressioni si ottiene:

Usando l’idea sopra, puoi facilmente derivare per la piramide la cui base è un rettangolo con larghezza b , lunghezza l e altezza h da essere