Il modo peggiore per guadagnare un milione di dollari

I problemi del millennio sono un insieme di sette problemi estremamente difficili in matematica posti dal Clay Institute, ciascuno con un premio di un milione di dollari nella speranza che le persone saranno incoraggiate a cercare di affrontarli. Proprio come i problemi di Hilbert un secolo prima, servono come guida per alcune delle più importanti domande aperte in matematica. Naturalmente, essendo questa la matematica, parte della notazione e della terminologia è irrimediabilmente arcana. Detto questo, ecco una rapida carrellata dei sette problemi del millennio.

P contro NP

Determina se ogni linguaggio accettato da qualche algoritmo non deterministico in tempo polinomiale è accettato anche da un qualche algoritmo deterministico in tempo polinomiale.

Il fraseggio qui è abbastanza tecnico, ma analizziamolo. In parole povere, gli algoritmi del tempo polinomiale (P) possono trovare una soluzione a un problema relativamente rapidamente, proporzionale ad un polinomio nella dimensione del problema. Al contrario, gli algoritmi non deterministici del tempo polinomiale (NP) impiegano più tempo di qualsiasi polinomio per trovare una soluzione, sebbene siano ancora in grado di determinare la validità di una soluzione nel tempo polinomiale.

Ad esempio, il problema dello zaino è un noto problema NP. In una forma, chiede se, dati determinati oggetti con determinati pesi e valori e uno zaino che può avere un peso limitato, lo zaino può contenere più di un determinato valore. In generale, è estremamente difficile risolverlo, dal momento che potresti dover esaminare ogni possibile combinazione di elementi prima di trovare qualcosa che funzioni. Tuttavia, dato un insieme di elementi, è davvero facile verificare se soddisfa o meno i vincoli. Questa è la proprietà chiave dei problemi NP.

Il problema, quindi, chiede se, per ogni problema NP (o equivalentemente, a causa del teorema di Cook-Levin, qualsiasi problema NP-completo), esista un algoritmo in grado di risolverlo in tempo polinomiale.

Ipotesi di Riemann

La parte reale di ogni zero non banale della funzione zeta di Riemann è ½.

L’ipotesi di Riemann è un po ‘una rockstar nel mondo della matematica, a causa delle sue potenziali implicazioni per molti, molti risultati nella teoria dei numeri e in altri campi.

Potresti essere consapevole che la serie armonica, la somma degli inversi di tutti gli interi positivi, va all’infinito. Potresti anche aver sentito della prova di Eulero che la somma dei quadrati inversi si somma a pi quadrato su sei. La funzione zeta di Riemann (quella piccola cosa incerta nell’affermazione del problema) è una generalizzazione di ciò, che consente all’esponente nel denominatore di essere qualsiasi numero complesso. Quindi, ζ (1) è la serie armonica, ζ (2) è la somma di Eulero e ζ (-1) è la somma di tutti gli interi positivi. Il modo in cui la funzione è effettivamente costruita è un po ‘più tecnico, ma una domanda naturale ora è chiedersi se la funzione zeta sia uguale a zero ovunque.

E lo fa! Si scopre che ad ogni numero intero negativo, come -2 o -4, la funzione zeta è zero. Questi sono i cosiddetti zeri banali. Ci sono, ovviamente, molti altri zeri. Si sospetta che ogni zero che non fa parte di quegli zeri banali abbia una parte reale pari alla metà (ricordate, questi sono numeri complessi). Tuttavia, mentre abbiamo trovato innumerevoli radici su quella linea, una prova che non esistono altre radici rimane sfuggente.

Esistenza e fluidità di Navier-Stokes

In tre dimensioni spaziali e nel tempo, dato un campo di velocità iniziale, esiste un campo di velocità vettoriale e un campo di pressione scalare, che sono sia lisci sia definiti globalmente, che risolvono le equazioni di Navier-Stokes.

Le equazioni di Navier-Stokes sono le equazioni che governano la dinamica dei fluidi, proprio come il modo in cui le leggi di Newton governano il movimento. Nonostante la loro ovvia importanza, le equazioni sono così complesse che è difficile dire qualcosa di significativo sulle loro soluzioni. In effetti, date alcune condizioni iniziali, non possiamo nemmeno dire con certezza che esiste una soluzione fisicamente sensata!

La scorrevolezza di una soluzione richiede che il derivato della soluzione possa essere assunto indefinitamente. È un po ‘tecnico, ma corrisponde più o meno alla nostra intuizione di quale dovrebbe essere la scorrevolezza; fondamentalmente, non ci sono salti discontinui da nessuna parte nel fluido. L’esistenza, nel frattempo, è un po ‘più drammatica. Non è noto se, per qualsiasi condizione di partenza, esistano soluzioni alle equazioni di Navier-Stokes. Ciò sicuramente non corrisponde a ciò che pensiamo intuitivamente di questo problema, ma indipendentemente da quanto sia ovvio, rimane da provare rigorosamente.

Congettura di Poincaré

Ogni 3-collettore semplicemente connesso e chiuso è omeomorfo alla 3-sfera.

Probabilmente hai sentito parlare della descrizione comune della topologia come trattare tazze di caffè e ciambelle come la stessa forma. C’è molta sfumatura in questo, ma questo dà un’idea di cosa sia un omeomorfismo. La congettura chiede se ogni “superficie” (in realtà uno spazio tridimensionale) con alcune belle proprietà in quattro dimensioni sia omeomorfa in una sfera quadridimensionale.

Le 3-varietà nella dichiarazione del problema devono avere due proprietà. Essere chiuso all’incirca significa che lo spazio è finito e che si ripiega su se stesso in modo da non avere bordi. Essere semplicemente connessi significa che qualsiasi anello disegnato nel collettore può essere continuamente chiuso in un punto. Ad esempio, se si disegna un anello attorno a un cilindro infinito, non si potrebbe mai trasformare il ciclo in un punto, quindi quel cilindro non è semplicemente collegato.

La congettura di Poincaré è l’unico problema del millennio da risolvere, usando uno strano processo di trasformazione noto come Ricci Flow. Alla persona che ha risolto il problema, Grigori Perelman, nel 2010 è stato assegnato il premio da un milione di dollari, che ha rifiutato.

Esistenza e divario di massa tra Yang-Mills

Dimostra che per qualsiasi gruppo G di calibro semplice compatto, esiste una teoria quantistica non banale di Yang – Mills su R4 e ha un gap di massa Δ> 0. L’esistenza include la determinazione di proprietà assiomatiche almeno altrettanto forti di quelle citate in Streater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) e Osterwalder & Schrader (1975).

Le teorie di Yang-Mills sono, approssimativamente parlando, diverse formulazioni della fisica quantistica per diverse forze teoriche. Non tutti questi sono fisicamente significativi, ma alcuni certamente lo sono, come la forte forza nucleare. Queste diverse teorie, ovviamente, devono contenere alcune particelle, ed è una domanda naturale chiedersi se le particelle con massa abbiano un limite inferiore a quanto sono massicce. La congettura afferma che una tale teoria deve avere una massa minima possibile, che nessuna particella può avere una massa diversa da zero al di sotto di una certa soglia.

Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

L’espansione di Taylor di L (C, s) in s = 1 ha la forma L (C, s) = c (s – 1) r + termini di ordine superiore con c non uguale a 0 e r = classifica (C (Q) ).

Le curve ellittiche sono un tipo di curva oscuro ma molto utile nel piano xy, definito impostando y al quadrato uguale a un polinomio cubico in x. La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, in breve, chiede della relazione tra l’insieme di punti su una curva ellittica con coordinate razionali modulo alcuni valori primi e un valore esoterico per la curva nota come rango.

Congettura di Hodge

Che X sia una varietà proiettiva complessa non singolare. Quindi ogni classe di Hodge su X è una combinazione lineare con coefficienti razionali delle classi di coomologia delle sottovarietà complesse di X.

È naturale cercare di scomporre un problema in parti più piccole e i matematici spesso fanno lo stesso con gli spazi in cui lavorano. La congettura di Hodge chiede le proprietà di quella metodologia. In particolare, afferma che qualsiasi spazio in una certa classe noto come varietà algebriche proiettive può essere suddiviso in cicli algebrici.

Quindi questi sono i sette problemi con vari gradi di dettaglio. C’è una ragione per cui la maggior parte di questi non è stata risolta, ma se sei all’altezza, perché non prendere una pugnalata per ottenere quel milione di dollari?