Serie di Fourier e algebra lineare, parte 1:

Qui proveremo a derivare la serie di Fourier dall’algebra lineare.

Definizione: Sia f: ℝ → ℝ una funzione periodica di 2pi. La serie di Fourier di f è definita come:

Il nostro obiettivo in questa prima parte è trovare quelli a_n e b_n, se presenti.

È l’insieme di funzioni a valore complesso tale che

È facile dimostrare che L 2 ([−π, π]) è uno spazio vettoriale su C (o R).

Possiamo anche associare a L 2 ([−π, π]) un prodotto interno.

È facile dimostrare che soddisfa le condizioni di un prodotto interno.

Osserviamo che:

(c’è un problema con questa notazione, lo so)

per m ≠ n e m, n = 1, 2, 3, …

Si potrebbe dire che sono ortogonali. Anche:

Quindi per k ≠ 0:

Pertanto per k ≠ 0:

Finalmente abbiamo:

E per k = 0:

Poi:

Notiamo che a_0 è la media di f sull’intervallo [-pi, pi].