Come avrei dovuto entrare nel mio campo di ricerca

Mi sento solo stressato per i miei problemi di ricerca irrisolti e arrabbiato con le mie stupide lotte e la conoscenza frammentata per il campo così tanto che voglio svelare i miei errori e far decadere la mia mente.

Prima di tutto, lasciami mettere un disclaimer qui: questa voce è stata scritta in base alla mia esperienza e alla (incompleta) comprensione del campo, quindi usala a tue spese. Ma sono più che disposto a discutere di una lotta e scambiare un’idea nella ricerca se sei interessato.

Una descrizione approssimativa della mia area di ricerca è la teoria della probabilità. Uno più specifico è Processi stocastici, che prevede lo studio di processi casuali. Per essere molto specifici, è lo studio delle forme di Dirichlet. Che cos’è? Puoi chiedere. Per capirlo, supponiamo che tu conosca già i processi di Markov, un bel tipo di processo stocastico. I processi di Markov sono oggetti probabilistici, che descrivono una serie di eventi in cui quelli successivi dipendono solo dallo stato attuale, non dall’intera storia attuale. Tuttavia, anche i processi Markov possono essere visti come oggetti analitici (funzionali). In effetti hanno una ricca teoria nell’analisi funzionale. Questo riguarda lo studio degli operatori. Tipi ellittici e parobolici, principalmente, poiché hanno a che fare con le diffusioni. Esistono tre tipi di operatori che sono centrali nei processi di Markov: generatori (infinitesimali), risolutori e funzioni di transizione. Ognuno di essi contiene informazioni complete su un processo di Markov e, una volta che uno dei tre è noto, gli altri possono essere derivati ​​di conseguenza.

Ora parliamo delle forme di Dirichlet. Sono fondamentalmente un tipo speciale di forme quadratiche definite su uno spazio di Hilbert L² (X) dove X è uno spazio di stato con belle proprietà. Un modulo Dirichlet può essere ottenuto da uno dei tre operatori sopra indicati, quindi può essere utilizzato anche per descrivere un processo Markov. In effetti, mostrare l’esistenza di un processo di Markov attraverso una forma di Dirichlet è il più delle volte più facile che farlo attraverso gli altri tre operatori, poiché una forma di Dirichlet è una sorta di oggetto differenziale di primo ordine rispetto agli altri tre che sono del tipo di secondo ordine. Tuttavia, non tutti i moduli di Dirichlet sono associati a un processo Markov. Deve soddisfare una bella condizione chiamata “regolarità” o leggermente più debole chiamata “quasi-regolarità”. Finora sembra che l’approccio alla forma di Dirichlet superi le altre tre, ma ha un prezzo da pagare. La maggior parte delle volte, le forme di Dirichlet sono troppo belle con cui lavorare. Secondo la mia esperienza, un principiante imparerebbe i processi stocastici in modo meno efficiente attraverso i moduli di Dirichlet poiché i moduli daranno solo buoni risultati senza rivelare cosa sta succedendo lungo la strada. Sono proprio come una magia e uno strumento per ricercatori maturi sul campo. Inoltre, la bibbia del campo, scritta da Fukushima, Oshima, Takeda, afferma i risultati in piena generalità. Questo è un incubo per i principianti in quanto saranno sopraffatti da tonnellate di dettagli e non hanno la minima idea di dire quale sia guardare e quale saltare per la prima volta a leggere. Ho attraversato quell’orribile incubo, ma non ho compreso appieno l’intera storia.

Quindi stavo scrivendo questo post sul blog per far decadere la mia mente e condividere quella che penso sia una buona strategia prima di saltare in questo campo.

  1. Esponiti a questi importanti processi stocastici attraverso un approccio operatore. Questo ti risparmierà una buona raccolta di esempi che ti aiuteranno a rintracciare cosa sta succedendo quando lavori con i moduli di Dirichlet. Ti aiuta a vedere il significato reale di ogni teorema della forma di Dirichlet. Alcuni dei libri di testo standard in questa materia sono
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    io)
    Diffusioni, Markov Processes e Martingales (tutti e due i volumi), di Rogers e Williams
    https://www.amazon.com/Diffusions-Markov-Processes-Martingales-Mathematical/dp/0521775949
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    ii)
    Martingala continua e Brownian Motion, di Revuz e Yor
    https://www.amazon.com/Continuous-Martingales-Grundlehren-mathematischen-Wissenschaften/dp/3642084001/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515246601&sr=1-1&keywords=martingale+yor+revuz
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    iii)
    Markov Processes, Brownian Motion e Time Symmetry, di Chung e Walsh
    https://www.amazon.com/Processes-Brownian-Grundlehren-mathematischen-Wissenschaften/dp/0387220267/ref=sr_1_fkmr1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515246738&sr=1-1-fkmr1&keywords=chung+williams+markov
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    iv)
    Processi Markov a tempo continuo, di Liggett
    https://www.amazon.com/Continuous-Processes-Graduate-Studies-Mathematics/dp/0821849492/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515246824&sr=1-1&keywords=liggett+markov
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    I primi tre sono formali e generali. Potresti aver trascorso molto tempo a decifrare ciò che gli autori intendono comunicare. Il quarto è come un libro di testo di insegnamento, piuttosto concreto e visualizzabile. Tuttavia gli aspetti negativi sono che concentrarsi sul moto browniano rende i teoremi lì non applicabili al contesto generale, e i calcoli sono talvolta disordinati poiché il libro intende mostrare l’uso esplicito delle condizioni dichiarate, quindi potrebbe essere difficile individuare gli ingredienti essenziali di ogni prova. È come quando apprendi la vera analisi per la prima volta in contrapposizione alla topologia a punti. Ad ogni modo, questo libro di Liggett è ancora un buon libro per imparare i materiali, specialmente quei novizi che hanno bisogno di avere qualche idea di cosa sta succedendo in questo campo
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    Bene, anche uno sfondo nel calcolo stocastico si rivelerà utile quando approfondisci la teoria della forma di Dirichlet. Consentitemi quindi di fornire alcuni buoni libri di consultazione su questo argomento.
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    vi)
    Introduzione all’integrazione stocastica, di Chung e Williams https://www.amazon.com/Introduction-Stochastic-Integration-Birkh%C3%A4user-Classics/dp/1461495865/ref%3Dsr_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=151524805454ssr=1 -2 & parole chiave = chung + Williams
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    vii)
    Equazioni differenziali stocastiche: un’introduzione con le applicazioni, di Oksendal
    https://www.amazon.com/Stochastic-Differential-Equations-Introduction-Applications/dp/3540047581
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    viii)
    Brownian Motion e Stochastic Calculus, di Karatzas e Shreve
    https://www.amazon.com/Brownian-Stochastic-Calculus-Graduate-Mathematics/dp/0387976558/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515248106&sr=1-1&keywords=stochastic+karatzas
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    Io stesso ho usato vi) per il mio corso di laurea, che è molto rigoroso e si adatta al gusto degli studenti di matematica pura. Il più delle volte, risponde alle mie domande teoriche con mia piena soddisfazione. Tuttavia, ho scoperto che vii) sono più bravi a raccontare le immagini grandi e a presentare risultati, specialmente quando sono alla ricerca di risultati da utilizzare nella mia ricerca. Usarli come complemento l’uno all’altro sarebbe un’idea intelligente, se non la migliore. Non ho mai usato viii) sul serio, ma condivide lo stesso spirito di vi) quindi potrebbe essere usato come un bel supplemento di vi).
  2. Ora sei equipaggiato con lo sfondo di probabilità del campo. È tempo di ampliare le tue conoscenze nella teoria degli operatori.
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    io)
    Processi di diffusione e calcolo stocastico, di Baudoin
    https://www.amazon.com/Diffusion-Processes-Stochastic-Textbooks-Mathematics/dp/B010WEOFRM
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    ii)
    Analisi e geometria degli operatori di diffusione Markov, di Bakry, Getil e Ledoux
    https://www.amazon.com/Diffusion-Operators-Grundlehren-mathematischen-Wissenschaften/dp/3319002260/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515249137&sr=1-1&keywords=bakry+diffusions
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    iii)
    Markov Processes: Characterization and Convergence, di Ethier e Kurtz
    https://www.amazon.com/Markov-Processes-Characterization-Stewart-Ethier/dp/047176986X/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515249188&sr=1-1&keywords=ethier+kurtz
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    Tra tutti e tre, stavo uscendo con i) di più. Credo che inizierai ad avere un assaggio delle forme di Dirichlet attraverso uno di questi libri, poiché le forme sono costruite tramite uno dei tre importanti operatori. Verrà discussa la relazione di questi tre operatori e le loro proprietà. E queste proprietà sono utili per provare cose e comprendere le prove nella teoria delle forme di Dirichlet.
  3. Ecco che arriva il Dirichlet dalla teoria.
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    i) Forme di Dirichlet e processi simmetrici di Markov, di Fukushima, Oshima e Takeda
    https://www.amazon.com/Dirichlet-Symmetric-Processes-Gruyter-Mathematics/dp/3110218089/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515249855&sr=1-1&keywords=dirichlet+form+fukushima
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    ii) Forme e analisi di Dirichlet su Wiener Space, di Hirsh e Bouleau
    https://www.amazon.com/Dirichlet-Analysis-Gruyter-Studies-Mathematics/dp/3110129191/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515249920&sr=1-1&keywords=dirichlet+form+bouleau
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    iii) Introduzione alla teoria delle forme (non simmetriche) di Dirichlet, di Ma e Rockner
    https://www.amazon.com/Introduction-Theory-Non-Symmetric-Dirichlet-Universitext/dp/3540558489/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1515249976&sr=1-1&keywords=ma+rockner+dirichlet+form
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    Come accennato in precedenza, la prima è la bibbia del campo. Tuttavia, ad essere sincero, i primi capitoli di questo libro sono stati abbastanza difficili da comprendere per me. Ho trovato ii) e iii) spiegare meglio tali contenuti, in particolare su come costruire un modulo Dirichlet da ciascuno dei tre operatori e perché dovrebbero essere imposte le strane regolarità. Ad ogni modo, il riferimento biblico è ancora un must da leggere e da usare in quanto contiene la maggior parte dei risultati classici del campo. Alla fine ogni libro ha l’intenzione di presentare diversi aspetti del campo, quindi, una volta gettate le basi, devi decidere tu stesso quale percorso ti piacerebbe seguire. Sono ancora bloccato con la Bibbia, ma in seguito espanderei il mio orizzonte per vedere altri aspetti di questo campo. Gli altri due verranno quindi utilizzati più spesso.

Se avrò tempo o mi stresserò di nuovo, proverò a scrivere il mio modo (incompiuto) di comprendere i processi di Markov. Un suggerimento: inizia dalle catene di Markov a tempo discreto, quindi dalle catene di Markov a tempo continuo e infine metti una topologia in uno spazio statale per stabilire i processi di Markov. È come passare dai numeri naturali (discreti) ai numeri razionali e poi ai numeri reali (continui).

Alla prossima, divertiti con le tue ricerche e la tua vita!